Question

f（x）=lg，其中a是实数，n是任意自然数且n≥2．
（Ⅰ）如果f（x）当x∈（-∞，1]时有意义，求a的取值范围；
（Ⅱ）如果a∈（0，1]，证明2f（x）＜f（2x）当x≠0时成立．

Answer

（Ⅰ）、f（x）当x∈（-∞，1]时有意义的条件是1+2x+…+（n-1）x+nxa＞0，x∈（-∞，1]，n≥2，即，然后由函数的单调性求实数a的取值范围．
（Ⅱ）、欲证如果a∈（0，1]，证明2f（x）＜f（2x）当x≠0时成立，只需证明n≥2时，[1+2x+…+（n-1）x+nxa]2＜n[1+22x+…+（n-1）2x+n2xa]，a∈（0，1]，x≠0即可得证．
【解析】
（Ⅰ）f（x）当x∈（-∞，1]时有意义的条件是1+2x+…+（n-1）x+nxa＞0，x∈（-∞，1]，n≥2，
即，
∵上都是增函数，
∴在（-∞，1]上也是增函数，
从而它在x=1时取得最大值．
所以，
∵等价于，
故a的取值范围是{a|a＞-}．
（Ⅱ）证明：只需证明n≥2时，[1+2x+…+（n-1）x+nxa]2
＜n[1+22x+…+（n-1）2x+n2xa]，a∈（0，1]，x≠0．
∵（a1+a2+…+an2）2=（a12+a22+…an2）+2（a1a2+a2a3+…+an-1an）
≤（a12+a22+…an2）+[（a12+a22）+…+（a12+an2）]+[（a22+a32）
+…+（a22+an2）]+…+[（an-22+an-12）+（an-22+an2）]+（an-12+an2）
=n（a12+a22+…+an2）．
于是（a1+a2+…+an）2≤n（a12+a22+…+an2）当a1=a2=…=an时成立．
利用上面结果知，当a=1，x≠0时，因1≠2x，
所以有[1+2x+…+（n-1）x+nxa]2＜n[1+22x+…+（n-1）2x+n2xa]，a∈（0，1]，
当0＜a＜1，x≠0时，因a2＜a，
所以有[1+2x+…+（n-1）x+nxa]2＜n[1+22x+…+（n-1）2x+n2xa]，
即有2f（x）＜f（2x）a∈（0，1]，x≠0．