Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且对任意正整数n都有2S_n=（n+2）a_n-1．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设，求．

Answer

（I）法一：在2Sn=（n+2）an-1中，分别令n=1，2，3，4．求得a1，a2，a3，a4．由此猜想：an=．下面用数学归纳法证明．
法二：在2Sn=（n+2）an-1中，仿写一个等式，两式相减，得到数列的项的递推关系，据此递推关系，利用累乘法求出通项．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知an=，则==2（-），从而利用拆项法求和2得到Tn=（+--）．最后求出其根限即可．
【解析】
（Ⅰ）法一：在2Sn=（n+2）an-1中，
令n=1，得2a1=3 a1-1，求得a1=1，
令n=2，得2（a1+a2）=4a2-1，求得a2=；
令n=3，得2（a1+a2+a3）=5 a3-1，求得a3=2；
令n=4，得2（a1+a2+a3+a4）=6 a4-1，求得a4=．
由此猜想：an=．  …
下面用数学归纳法证明．
（1）当n=1时，a1==1，命题成立．
（2）假设当n=k时，命题成立，即ak=，且2Sk=（k+2）ak-1，则由2Sk+1=（k+3）ak+1-1及Sk+1=Sk+ak+1，得（k+3）ak+1-1=2Sk+2ak+1，即（k+3）ak+1-1=[（k+2）ak-1]+2ak+1．则ak+1==，这说明当n=k+1时命题也成立．根据（1）、（2）可知，对一切n∈N*命题均成立．                        …（6分）
法二：在2Sn=（n+2）an-1中，令n=1，求得a1=1．
∵2Sn=（n+2）an-1，
∴2Sn-1=（n+1）an-1-1．  
当n≥2时，两式相减得：2（Sn-Sn-1）=（n+2）an-（n+1）an-1，
即  2 an=（n+2）an-（n+1）an-1整理得，． …（3分）
∴an=••…•••a1=••…•••1=．   
当n=1时，an=，满足上式，
∴an=．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知an=，
则==2（-），
∴
=2[（-）+（-）+（-）+…+（-）+（-）]
=2（+--）．
∴=．