Question

已知函数f（x）=ln（x+1）-x．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）若x＞-1，证明：．

Answer

（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（-1，+∞）．f'（x）=-，由此能求出函数f（x）的单调递减区间．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当x∈（-1，0）时，f'（x）＞0，当x∈（0，+∞）时，f'（x）＜0，故ln（x+1）-x≤0，ln（x+1）≤x．令，则=．由此能够证明当x＞-1时，．
（Ⅰ）【解析】
函数f（x）的定义域为（-1，+∞）．
f'（x）=-1=-…（2分）
由f'（x）＜0及x＞-1，得x＞0．
∴当x∈（0，+∞）时，f（x）是减函数，
即f（x）的单调递减区间为（0，+∞）．…4
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，
当x∈（-1，0）时，f'（x）＞0，
当x∈（0，+∞）时，f'（x）＜0，
因此，当x＞-1时，f（x）≤f（0），
即ln（x+1）-x≤0，
∴ln（x+1）≤x．…（6分）
令，
则=．…（8分）
∴当x∈（-1，0）时，g'（x）＜0，
当x∈（0，+∞）时，g'（x）＞0．…10
∴当x＞-1时，g（x）≥g（0），
即 ≥0，
∴．
综上可知，当x＞-1时，
有．…（12分）