Question

在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是BC的中点．
（1）求证：A₁D⊥B₁C₁；
（2）判断A₁B与平面ADC₁的位置关系，并证明你的结论．

Answer

（1）欲证A1D⊥B1C1，由于BC∥B1C1，故只要证A1D⊥BC，根据点D是正△ABC中BC边的中点，可证AD⊥BC，进而证得结论；
（2）直线A1B∥平面ADC1．欲证A1B∥平面ADC1．只需证明DF∥A1B，连接A1C交AC1于F，则F为A1C的中点，因为D是BC的中点，所以DF∥A1B，利用线面平行的判定定理可证．
证明：（1）∵点D是正△ABC中BC边的中点，
∴AD⊥BC，
又A1A⊥底面ABC，
∴A1A⊥BC
∵A1A⊂平面A1AD，AD⊂平面A1AD，A1A∩AD=A
∴BC⊥平面A1AD，
∵A1D⊂平面A1AD，
∴A1D⊥BC，
∵BC∥B1C1，
∴A1D⊥B1C1．
（2）直线A1B∥平面ADC1，证明如下：
连接A1C交AC1于F，则F为A1C的中点，
∵D是BC的中点，
∴DF∥A1B，
又DF⊂平面ADC1，A1B⊄平面ADC1，
∴A1B∥平面ADC1．