Question

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，PA=AB=1，直线PD与底面ABCD所成的角等于30°，，（0＜λ＜1）．
（1）若EF∥平面PAC，求λ的值；
（2）当BE等于何值时，二面角P-DE-A的大小为45°？

Answer

（1）通过平面PBC∩平面PAC=AC，EF⊆平面PBC，利用EF∥平面PAC，推出E为BC的中点，求λ的值；
（2）以A为坐标原点，分别以AD、AB、AP所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，求出P，B，F，D，坐标，设BE=a，则E（a，1，0），通过平面PDE的法向量，平面ADE的法向量，利用，求出BE的值，使得二面角P-DE-A的大小为45°．
【解析】
（1）∵平面PBC∩平面PAC=AC，EF⊆平面PBC，若EF∥平面PAC，
则EF∥PC，又F是PB的中点，
∴E为BC的中点，
∴…（5分）
（2）以A为坐标原点，分别以AD、AB、AP所在直线为x轴、y轴、z轴
建立空间直角坐标系，则P（0，0，1），B（0，1，0），F（0，，），
D（，0，0），设BE=a，则E（a，1，0）
平面PDE的法向量=（，平面ADE的法向量=（0，0，1），
∴，，
解得或（舍去），
当BE=时，二面角P-DE-A的大小为45°．…（12分）