Question

在平面直角坐标系XOY中，已知定点A（0，a），B（0，-a），M，N是x轴上两个不同的动点，，直线AM与直线BN交于C点．
（1）求点C的轨迹方程；
（2）若存在过点（0，-1）且不与坐标轴垂直的直线l与点C的轨迹交于不同的两点E、F，且|AE|=|AF|，求实数a的取值范围．

Answer

（1）设出点的坐标：C（x，y），M（m，0），N（n，0），根据A、C、M三点共线得到式子，根据B、C、N三点共线得到，两个式子的左右两边对应相乘得到，结合得到mn=4a2，代入前面式子，化简整理可得：，即为点C的轨迹方程；
（2）设过点（0，-1）的直线l方程是y=kx-1，与椭圆消去y得关于x的方程：（1+4k2）x2-8kx+4-4a2=0…（*）．再设直线l与交于点A（x1，y1），B（x2，y2），根据|AE|=|AF|得：=，将此式移项因式分解，结合经过两点的斜率公式，得：-k=，利用直线l的方程化简可得：．再将求出的一元二次方程利用根与系数的关系，得到，代入前式化简得到，将此式代到方程（*）的根的判别式，建立不等式，解之即可得到实数a的取值范围．
【解析】
（1）设点C（x，y），M（m，0），N（n，0），则（其中a∈R，a≠0）
∵A、C、M三点共线，B、C、N三点共线，
∴且，
即…①，…②
①、②的左右两边对应相乘，得，
将mn=4a2代入，得
整理，得：，即为点C的轨迹方程；
（2）设过点（0，-1）的直线l方程是y=kx-1
由消去y，得关于x的方程：（1+4k2）x2-8kx+4-4a2=0，
设直线l与交于点A（x1，y1），B（x2，y2），由一元二次方程根与系数的关系，得，
∵直线l点C的轨迹交于不同的两点
∴△=64k2-4（1+4k2）（4-4a2）＞0，得4a2k2+a2-1＞0…（1）
由|AE|=|AF|得：=，
移项，因式分解得：
所以有：-k=
∵y1=kx1-1，y2=kx2-1
∴，
将代入上式，化简得…（2）
∵k2＞0，∴0＜a＜3，
把（2）代入（1）得：a（3-a）+a2-1＞0
化简，解此不等式得：，
∴