Question

已知：△ABC为直角三角形，∠C为直角，A（0，-8），顶点C在x轴上运动，M在y轴上，=（+），设B的运动轨迹为曲线E．
（1）求B的运动轨迹曲线E的方程；
（2）过点P（2，4）的直线l与曲线E相交于不同的两点Q、N，且满足=，求直线l的方程．

Answer

（1）由可得M为BC的中点，由C为直角，可得，代入坐标表示可求曲线E的轨迹方程
（2）由可得P是QN的中点，设Q（x1，y1），N（x2，y2），线段QN的 中点P（2，4），L：y-4=k（x-2）
方法一：由，，两式相减，结合中点坐标公式可求直线l的斜率k，进而可求直线方程
方法二：联立直线与曲线方程可得x2-4kx+8k-16=0，由方程的根与系数关系及中点坐标公式可求K，进而可求直线方程
【解析】
（1）由可得M为BC的中点（2分）
设B（x，y），则M（0，），C（-x，0）（4分）
∵C为直角，故
∵，
∴2x2-8y=0即x2=4y（5分）
B的轨迹曲线E的方程为x2=4y（（x≠0）6分）
（2）∵
P是QN的中点
设Q（x1，y1），N（x2，y2），线段QN的 中点P（2，4）
设L：y-4=k（x-2）
方法一：则，
两式相减可得，4（y1-y2）=（x1-x2）（x1+x2）（8分）
∴直线l的斜率k===1（11分）
直线l的方程为y-4=x-2即x-y+2=0
方法二：联立直线与曲线方程可得x2-4kx+8k-16=0（*）
△=16（k2-2k+4）＞0，显然方程（*）有2个不相等的实数根（8分）
∴x1+x2=4k=4
∴k=1
∴直线L的方程为x-y+2=0（12分）