Question

已知各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，满足，且a₁，a₂，a₇依次是等比数列{b_n}的前三项．（1）求数列{a_n}及{b_n}的通项公式；
（2）是否存在常数a＞0且a≠1，使得数列是常数列？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

Answer

（1）根据8Sn=an2+4an+3令n=1可求出首项a1的值，然后利用递推关系可得8Sn-1=an-12+4an-1+3（n≥2），两式相减可得（an+an-1）（an-an-1-4）=0，从而得到数列{an}的公差，最后验证讨论首项，验证a1，a2，a7是否成等比数列即可，求出数列{bn}的通项公式；
（2）满足条件的a存在，a=，然后将数列{an}及{bn}的通项公式代入an-logabn，使之为常数，可求出a的值．
【解析】
（1）∵8Sn=an2+4an+3，①
∴8a1=a12+4a1+3．
解之，得a1=1，或a1=3．…（2分）
又8Sn-1=an-12+4an-1+3（n≥2），②
由①-②，得 8an=（an2-an-12）+4（an-an-1），即（an+an-1）（an-an-1-4）=0．
∵各项均为正数则an+an-1＞0，∴an-an-1=4（n≥2）．…（5分）
当a1=1时，a2=5，a7=25．a1，a2，a7成等比数列，
∴an=4n-3，bn=5n-1
当a1=3时，a2=7，a7=27，有 不构成等比数列，舍去．
（2）满足条件的a存在，a=
由（1）知，an=4n-3，bn=5n-1从而
an-logabn=4n-3-loga5n-1=（4-loga5）n-3+loga5
由题意得4-loga5=0
∴a=