Question

在平面直角坐标系xOy中，已知圆x²+y²=1与x轴正半轴的交点为F，AB为该圆的一条弦，直线AB的方程为x=m．记以AB为直径的圆为⊙C，记以点F为右焦点、短半轴长为b（b＞0，b为常数）的椭圆为D．
（1）求⊙C和椭圆D的标准方程；
（2）当b=1时，求证：椭圆D上任意一点都不在⊙C的内部；
（3）已知点M是椭圆D的长轴上异于顶点的任意一点，过点M且与x轴不垂直的直线交椭圆D于P、Q两点（点P在x轴上方），点P关于x轴的对称点为N，设直线QN交x轴于点L，试判断是否为定值？并证明你的结论．

Answer

（1）圆心C（m，0），（-1＜m＜1），⊙C的半径为：r=，从而⊙C的方程为（x-m）2+y2=1-m2，由此能求出椭圆D的标准方程．
（2）当b=1时，椭圆D的方程为，设椭圆D上任意一点S（x1，y1），则，，由=≥1-m2=r2，所以SC≥r．由此得到椭圆D上的任意一点都不存在⊙C的内部．
（3）设点P（x1，y1），Q（x2，y2），由题意，得N（x1，-y1），x1≠x2，y1≠±y2，从而直线PQ的方程为（y2-y1）x-（x2-x1）y+x2y1-x1y2=0，令y=0，得，直线QN的方程为（y2+y1）x-（x2-x1）y-x1y2-x2y1=0，令y=0，得．由点P，Q在椭圆D上，能够证明=xM•xL=b2+1为定值．
【解析】
（1）圆心C（m，0），（-1＜m＜1），
则⊙C的半径为：r=，
从而⊙C的方程为（x-m）2+y2=1-m2，
椭圆D的标准方程为：．
（2）当b=1时，椭圆D的方程为，
设椭圆D上任意一点S（x1，y1），
则，，
∵
=
=
≥1-m2=r2，
所以SC≥r．
从而椭圆D上的任意一点都不存在⊙C的内部．
（3）=b2+1为定值．
证明：设点P（x1，y1），Q（x2，y2），
则由题意，得N（x1，-y1），x1≠x2，y1≠±y2，
从而直线PQ的方程为（y2-y1）x-（x2-x1）y+x2y1-x1y2=0，
令y=0，得，
∵直线QN的方程为（y2+y1）x-（x2-x1）y-x1y2-x2y1=0，
令y=0，得．
∵点P，Q在椭圆D上，
∴，，
∴，，
∴xM•xL=
==b2+1．
∴=xM•xL=b2+1为定值．