Question

如图是一幅招贴画的示意图，其中ABCD是边长为2a的正方形，周围是四个全等的弓形．已知O为正方形的中心，G为AD的中点，点P在直线OG上，弧AD是以P为圆心、PA为半径的圆的一部分，OG的延长线交弧AD于点H．设弧AD的长为l，．（1）求l关于θ的函数关系式；（2）定义比值为招贴画的优美系数，当优美系数最大时，招贴画最优美．证明：当角θ满足：时，招贴画最优美．

Answer

（1）先对θ所在范围分情况求解，最后综合即可；
（2）先根据条件求出OP=a-，θ∈（，）；进而得到=，然后借助于两次求导求出函数的最大值点即可得到结论．
【解析】
（1）当θ∈（，）时，点P在线段OG上，AP=；
当θ∈（，）时，点P在线段GH上，AP==；
当θ=时，AP=a．
综上所述AP=，θ∈（，），
所以，弧AD的长L=AP•2θ=．
故所求函数关系式为L=，θ∈（，）．
（2）证明：当θ∈（，）时，OP=OG-PG=a-=a-；
当θ∈（，）时，OP=OG+GH=a+=a-=a-；
当θ=时，OP=a．
所以，OP=a-，θ∈（，）．
从而，=，θ∈（，）．
记f（θ）=，θ∈（，）．
则f′（θ）=
令f′（θ）=0得θ（cosθ+sinθ）=sinθ-cosθ
因为θ∈（，）所以cosθ+sinθ≠0，从而θ=，
显然θ≠，所以θ===tan（θ-）
记满足θ=tan（θ-）的θ=θ．下面证明θ是函数f（θ）的极值点．
设g（θ）=θ（cosθ+sinθ）-（sinθ-cosθ），θ∈（，），
则g′（θ）=θ（cosθ-sinθ）＜0上θ∈（，）恒成立．
从而g（θ）在θ∈（，）上单调递减，
所以，当θ∈（，θ）时g（θ）＞0，即f′（θ）＞0，f（θ）在（，θ）上单调递增，
当θ∈（θ，）时，g（θ）＜0，即f′（θ）＜0，f（θ）在（θ，）上单调递减．
故f（θ）在θ=θ．处取得极大值也是最大值．
所以：当θ满足θ=tan（θ-）时，函数f（θ）即取得最大值，此时招贴画最优美．