Question

设a为实数，函数f（x）=x|x²-a|．（1）当a=1时，求函数f（x）在区间[-1，1]上的最大值和最小值；（2）求函数f（x）的单调区间．

Answer

（1）当a=1时，由x∈[-1，1]，知f（x）=-x3+x，故f′（x）=-3x2+1=-3（x-）（），令f′（x）=0，得，，由此能求出函数f（x）在x∈[-1，1]上的最小值、最大值．
（2）当a=0时，f（x）=x3，f（x）的单调增区间为（-∞，+∞）；当a＜0时，f（x）=x3-ax，由f′（x）=3x2-a＞0恒成立，知f（x）的增区间为（-∞，+∞）．当a＞0时，或时，f′（x）=3x2-a=3（x+）（x-），-，，f（x）的单调减区间为及．当-时，f′（x）=-3x2+a=-3，f（x）的单调增区间为（），f（x）的单调减区间为，．由此能求出函数f（x）的单调区间．
【解析】
（1）当a=1时，f（x）=x|x2-1|．
∵x∈[-1，1]，∴f（x）=-x3+x，
则f′（x）=-3x2+1=-3（x-）（），
令f′（x）=0，得，，
∵[-1，1]，
f（-1）=1-1=0，
f（-）=-（-）3-=，
f（）=-=，
f（1）=-1+1=0，
∴函数f（x）在x∈[-1，1]上的最小值为，最大值为．
（2）（i）当a=0时，f（x）=x3，f（x）的单调增区间为（-∞，+∞）．
（ii）当a＜0时，f（x）=x3-ax，
∵f′（x）=3x2-a＞0恒成立，
∴f（x）在（-∞，+∞）上单调递增，
∴f（x）的增区间为（-∞，+∞）．
（iii）当a＞0时，①当或时，f（x）=x3-ax，
因为f′（x）=3x2-a=3（x+）（x-），-，，
所以，当或时，f′（x）＞0，
从而f（x）的单调增区间为及．
②当-时，f（x）=-x3+ax，
f′（x）=-3x2+a=-3，
令f′（x）=0，得，x=-，
列表，得

 x  （-，-） -  
（）    （）
 f′（x） - 0  + 0  -
 f（x） ↓  极小值 ↑  极大值 ↓

∴f（x）的单调增区间为（），f（x）的单调减区间为，．
综上所述，当a≤0时，函数f（x）的单调增区间为（-∞，+∞）；
当a＞0时，函数f（x）的单调增区间为及，
f（x）的单调减区间为．