Question

已知斜率为k（k≠0）的直线l过抛物线C：y²=4x的焦点F且交抛物线于A、B两点．设线段AB的中点为M．
（1）求点M的轨迹方程；
（2）若-2＜k＜-1时，点M到直线l'：3x+4y-m=0（m为常数，）的距离总不小于，求m的取值范围．

Answer

（1）设AB的中点为O（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2），直线的方程为：y=k（x-1），得k2x2-（2k2+4）x+k2=0，x1+x2=（2k2+4）=2+，y1+y2=k（x1+x2-2）=，由此能求出点M的轨迹方程．
（2）M（，）到直线l'：3x+4y-m=0的距离d=，由点M到直线l'：3x+4y-m=0（m为常数，）的距离总不小于，，由-2＜k＜-1和m＜，能求出m的取值范围．
【解析】
设AB的中点为O（x，y）；A（x1，y1），B（x2，y2），
∵直线过抛物线y2=4x得焦点F（1，0），
∴设直线的方程为：y=k（x-1），①
将①2代入抛物线方程中可得：
k2（x-1）2=4x，
∴k2x2-（2k2+4）x+k2=0，②
∴x1+x2=（2k2+4）=2+，
∵y1+y2=k（x1+x2-2）=，
又∵x==1+，…③
y==，
∴，…④
∴将④代入③可得：
x=1+，
∴y2=2x-2．
所以点M的轨迹方程为：y2=2x-2．
（2）由（1）知，点M（，），
∴M（，）到直线l'：3x+4y-m=0的距离d=，
∵点M到直线l'：3x+4y-m=0（m为常数，）的距离总不小于，
∴，
∴，或，
即，或，
∵-2＜k＜-1，
∴-＜＜4，
，
∴m，或m≥6，
∵m＜，
∴m≤-．
故m的取值范围是{m|m≤-}．