Question

已知函数f（x）=a^x+ka^-x，其中a＞0且a≠1，k为常数，若f（x）在R上既是奇函数，又是减函数，则a+k的取值范围是    ．

Answer

由f（x）在R上是奇函数，可得f（0）=0，可求得k=-1，于是f（x）=ax-a-x，由f（x）=ax-a-x是减函数，由f′（x）＜0可求
a的取值范围，从而可求得a+k的取值范围．
【解析】
∵f（x）在R上是奇函数，
∴f（0）=0，即f（0）=1+k，
∴k=-1；
∴f（x）=ax-a-x，
又f（x）=ax-a-x是减函数，
∴f′（x）＜0，即axlna+a-xlna=（ax+a-x）lna＜0，由于ax+a-x＞0，
∴lna＜0，
∴0＜a＜1．
∴a+k=a-1∈（-1，0）．
故答案为：（-1，0）．