Question

已知双曲线x²-y²=1的左、右顶点分别为A₁、A₂，动直线l：y=kx+m与圆x²+y²=1相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）．
（1）求k的取值范围，并求x₂-x₁的最小值；
（2）记直线P₁A₁的斜率为k₁，直线P₂A₂的斜率为k₂，那么k₁•k₂是定值吗？证明你的结论．

Answer

（1）由l与圆相切，知m2=1+k2，由，得（1-k2）x2-2mkx-（m2+1）=0，所以由此能求出k的取值范围和x2-x1的最小值．
（2）由已知可得A1，A2的坐标分别为（-1，0），（1，0），，=．由此能证明k1•k2是定值．
【解析】
（1）∵l与圆相切，∴∴m2=1+k2（2分）
由，得（1-k2）x2-2mkx-（m2+1）=0，∴，∴k2＜1，∴-1＜k＜1，故k的取值范围为（-1，1）．（5分）
由于，
∵0≤k2＜1∴当k2=0时，x2-x1取最小值．（7分）
（2）由已知可得A1，A2的坐标分别为（-1，0），（1，0），
∴，∴=（10分）
==
==，
由m2-k2=1，∴为定值．（14分）