Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{n²a_n}的前n项和T_n．

Answer

（Ⅰ）由a1=1，．知，a2=1，所以an+1==1×××=，由此能求出．
（Ⅱ）由．知n2an=，所以Tn=1+4×3+6×3+8×32+…+2n•3n-2，再由错位相减法能求出Tn．
【解析】
（Ⅰ）∵a1=1，．
∴，
∴nan=，
∴，
在a1=1，，
取n=1，得a2=1，
∴an+1=
=1×××
=，
∴．
（Ⅱ）∵．
∴n2an=，
∴Tn=1+4×3+6×3+8×32+…+2n•3n-2，①
3Tn=3+4×3+6×32+8×33+…+2（n-1）•3n-2+2n•3n-1，②
①-②，得-2Tn=-2+4+2×（3+32+33+…+3n-2）-2n×3n-1
=2+2×-2n×3n-1
=2+3n-1-3-2n×3n-1
=3n-1-1-2n×3n-1
∴Tn=+n×3n-1-．