Question

如图，在三棱锥P-ABC中，AB=AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上．
（Ⅰ）证明：AP⊥BC；
（Ⅱ）已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2．求二面角B-AP-C的大小．

Answer

（I）由题意．因为PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上所以BC⊥PO．有AB=AC，D为BC的中点，得到BC⊥AD，进而得到线面垂直，即可得到所证；
（II）有（I）利用面面垂直的判定得到PA⊥平面BMC，再利用二面角的定义得到二面角的平面角，然后求出即可．
【解析】
（I）由题意画出图如下：
由AB=AC，D为BC的中点，得AD⊥BC，
又PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，得到PO⊥BC，
∵PO∩AD=O∴BC⊥平面PAD，故BC⊥PA．
（II）如图，在平面PAB中作BM⊥PA于M，连接CM，
∵BC⊥PA，∴PA⊥平面BMC，∴AP⊥CM，故∠BMC为二面角B-AP-C的平面角，
在直角三角形ADB中，；
在直角三角形POD中，PD2=PO2+OD2，在直角三角形PDB中，PB2=PD2+BD2，∴PB2=PO2+OD2+BD2=36，得PB=6，
在直角三角形POA中，PA2=AO2+OP2=25，得PA=5，
又cos∠BPA=，从而．
故BM=，
∵BM2+MC2=BC2，∴二面角B-AP-C的大小为90°．