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如图,α和β为平面,α∩β=l,A∈α,B∈β,AB=5,A,B在棱l上的射影分...

如图,α和β为平面,α∩β=l,A∈α,B∈β,AB=5,A,B在棱l上的射影分别为A′,B′,AA′=3,BB′=2.若二面角α-l-β的大小为manfen5.com 满分网,求:
(Ⅰ)点B到平面α的距离;
(Ⅱ)异面直线l与AB所成的角(用反三角函数表示).

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(1)先过点B到作平面α的垂线,交点为D,∠BB'C为二面角的平面角,再在直角三角形BB'D中求解BD即可; (2)先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点A,得到∠BAC或其补角为异面直线所成的角,在三角形BAC中再利用余弦定理求出此角,再用反三角函数表示即可. 【解析】 (1)如图,过点B′作直线B′C∥A′A且使B′C=A′A. 过点B作BD⊥CB′,交CB′的延长线于D. 由已知AA′⊥l,可得DB′⊥l,又已知BB′⊥l, 故l⊥平面BB′D, 得BD⊥l又因BD⊥CB′,从而BD⊥平面α,BD之长即为点B到平面α的距离. 因B′C⊥l且BB′⊥l,故∠BB′C为二面角α-l-β的平面角. 由题意,∠BB′C=. 因此在Rt△BB′D中,BB′=2,∠BB′D=π-∠BB′C=, BD=BB′•sinBB′D=. (Ⅱ)连接AC、BC.因B′C∥A′A,B′C=A′A,AA′⊥l, 知A′ACB′为矩形, 故AC∥l. 所以∠BAC或其补角为异面直线l与AB所成的角. 在△BB′C中,B′B=2,B′C=3,∠BB′C=, 则由余弦定理, BC=. 因BD⊥平面α,且DC⊥CA,由三垂线定理知AC⊥BC. 故在△ABC中,∠BCA=,sinBAC=. 因此,异面直线l与AB所成的角为arcsin
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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