Question

已知 A、B两地相距2R，以AB为直径作一个半圆，在半圆上取一点C，连接AC、BC，在三角形ABC内种草坪（如图），M、N分别为弧AC、弧BC的中点，在三角形AMC、三角形BNC上种花，其余是空地．设花坛的面积为S₁，草坪的面积为S₂，取∠ABC=θ．
（1）用θ及R表示S₁和S₂；
（2）求的最小值．

Answer

（1）先利用θ及R表示出AC、BC的长，进而求出S2；再设AB的中点为O，连MO、NO，则MO⊥AC，NO⊥BC，即可求出三角形AMC、三角形BNC的面积，进而求得S1；
（2）先利用（1）的结论求出关于θ的表达式；再结合三角函数以及函数单调性的知识即可求出的最小值．
【解析】
（1）因为∠ABC=θ，则AC=2Rsinθ，BC=2Rcosθ，
则．（3分）
设AB的中点为O，连MO、NO，则MO⊥AC，NO⊥BC．
设MO交AC与点E．
则ME=MO-OE=R-=R-Rcosθ=R（1-cosθ）．
所以：S△AMC=|AC|•|ME|=R2sinθ（1-cosθ）；（5分）
同理可得三角形BNC的面积为R2cosθ（1-sinθ），（7分）
∴S1=R2sinθ（1-cosθ）+R2cosθ（1-sinθ）=R2（sinθ+cosθ-2sinθcosθ）．（8分）
（2）∵，（10分）
令，则2sinθcosθ=t2-1．
∴．（12分）
∴的最小值为．（14分）