Question

已知sinx+cosx=-1，则sin²⁰⁰⁵x+cos²⁰⁰⁵x的值为（ ）
A．0
B．1
C．-1
D．±1

Answer

可利用辅助角公式将sinx+cosx化为：sinx+cosx=sin（x+）=-1，从而求得x=2kπ-π或x=2kπ-（k∈Z），分类讨论即可；也可以将sinx+cosx=-1两端平方，求得sinxcosx=0，分类讨论即可．
【解析】
∵sinx+cosx=sin（x+）=-1，
∴sin（x+）=-，
∴x+=2kπ-或x+=2kπ-，k∈Z．
∴x=2kπ-π或x=2kπ-．k∈Z
当x=2kπ-π，cosx=-1，sinx=0，
∴sin2005x+cos2005x=-1；
当x=2kπ-，cosx=0，sinx=-1，
∴sin2005x+cos2005x=-1．
综上所述，sin2005x+cos2005x的值为-1．
故选C．