Question

（Ⅰ）设x≥1，y≥1，证明x+y+≤++xy；
（Ⅱ）1≤a≤b≤c，证明log_ab+log_bc+log_ca≤log_ba+log_cb+log_ac．

Answer

（Ⅰ）根据题意，首先对原不等式进行变形有x+y+≤++xy⇔xy（x+y）+1≤x+y+（xy）2；再用做差法，让右式-左式，通过变形、整理化简可得右式-左式=（xy-1）（x-1）（y-1），又由题意中x≥1，y≥1，判断可得右式-左式≥0，从而不等式得到证明．
（Ⅱ）首先换元，设logab=x，logbc=y，由换底公式可得：logba=，logcb=，logac=，logac=xy，将其代入要求证明的不等式可得：x+y+≤++xy；又有logab=x≥1，logbc=y≥1，借助（Ⅰ）的结论，可得证明．
证明：（Ⅰ）由于x≥1，y≥1；则x+y+≤++xy⇔xy（x+y）+1≤x+y+（xy）2；
用作差法，右式-左式=（x+y+（xy）2）-（xy（x+y）+1）
=（（xy）2-1）-（xy（x+y）-（x+y））
=（xy+1）（xy-1）-（x+y）（xy-1）
=（xy-1）（xy-x-y+1）
=（xy-1）（x-1）（y-1）；
又由x≥1，y≥1，则xy≥1；即右式-左式≥0，从而不等式得到证明．
（Ⅱ）设logab=x，logbc=y，
由换底公式可得：logba=，logcb=，logca=，logac=xy，
于是要证明的不等式可转化为x+y+≤++xy；
其中logab=x≥1，logbc=y≥1，
由（Ⅰ）的结论可得，要证明的不等式成立．