Question

已知点P在双曲线上，且它到双曲线一个焦点F的距离是1．
（1）求双曲线方程；   
（2）过F的直线L₁交双曲线于A，B两点，若弦长|AB|不超过4，求L₁的斜率的取值范围．

Answer

（1）由点P在双曲线上，且它到双曲线一个焦点F的距离是1，知=1，即c=，设双曲线方程为，把点P代入，能求出双曲线方程．
（2）由双曲线方程是x2-y2=1，知F（），故直线L1的方程是：，由，得（1-k2）x2+，由此利用弦长公式能求出L1的斜率的取值范围．
【解析】
（1）∵点P在双曲线上，
且它到双曲线一个焦点F的距离是1，
∴=1，即c=，
设双曲线方程为，
把点P代入，得，
整理，得a4-5a2+4=0，解得a2=1，或a2=4（舍），
∴双曲线方程是x2-y2=1．
（2）∵双曲线方程是x2-y2=1，∴F（），
∴直线L1的方程是：，
由，得（1-k2）x2+，
当k=±1时，直线与双曲线的渐近线平行，弦长为0，成立．
当k≠±1时，设A（x1，y1），B（x2，y2），
则，，
|AB|=≤4，
∴（1+k2）•≤16，
整理，得3k4-10k2+3≥0，
解得k2≥3，或，
∴，或，或，
综上所述，L1的斜率的取值范围是{k|，或，或，或k=±1}．