Question

过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，与抛物线的准线的交点为B，点A在抛物线准线上的射影为C，若，则抛物线的方程为（ ）
A．y²=4
B．y²=8
C．y²=16
D．

Answer

先设抛物线的准线与x轴的交点为D，根据抛物线的性质可知|AF|=|AC|，根据F是AB的中点可知|AC|=2|FD|，|AB|=2|AF|进而得到|AF|和|AB|关于p的表达式，进而得到|BC|，最后根据=48，求得p．
【解析】
设抛物线的准线与x轴的交点为D，依题意，F为线段AB的中点，
故|AF|=|AC|=2|FD|=2p，
|AB|=2|AF|=2|AC|=4p，
∴∠ABC=30°，||=2p，
=4p•2p•cos30°=48，
解得p=2，
∴抛物线的方程为y2=4x．
故答案为：y2=4x