Question

已知一椭圆经过点（2，-3）且与椭圆9x²+4y²=36有共同的焦点
（1）求椭圆方程；
（2）若P为椭圆上一点，且，P，F₁，F₂是一个直角三角形的顶点，且|PF₁|＞|PF₂|，求|PF₁|：|PF₂|的值．

Answer

（1）由题意可得，可设所求椭圆方程为  ，代入（2，-3）点，解得m=10，或m=-2（舍），得到所求方程．
 （2）①若∠PF2F1=900 ，，由椭圆的定义可得，
于是|PF1|：|PF2|=2． ②若∠F1PF2=90，则，，，由△＜0 知无解，即这样的三角形不存在．
【解析】
（1）∵，
与之有共同焦点的椭圆可设为，代入（2，-3）点，
解得m=10，或m=-2（舍），故所求方程为．
（2）①若∠PF2F1=900 ，
则，
于是|PF1|：|PF2|=2．
②若∠F1PF2=90，则，，，
∵△＜0，∴无解，即这样的三角形不存在，
综合1，2 知，|PF1|：|PF2|=2．