Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BB₁，AC₁⊥平面A₁BD，D为AC中点．
（Ⅰ）求证：B₁C₁⊥平面ABB₁A₁；
（Ⅱ）在棱CC₁上是否存在点E，使二面角．E-A₁B-B₁的正切值为，若存在，确定点E的位置，若不存在，说明理由．

Answer

（Ⅰ）要证B1C1⊥平面ABB1A1，只要证明B1C1与平面ABB1A1内的两条相交直线BB1，A1B垂直即可．而B1C1与A1B垂直 可通过证明A1B⊥平面AB1C1来实现．
（Ⅱ）假设存在点E满足题设，过E作EF∥B1C1交BB1于F，过F作FG⊥A1B于G，连接EG，则EG⊥A1B，∠FGE就是二面角E-A1B-A的平面角，表示出EF，利用Rt△A1B1B∽Rt△FGB来表示CE，从而确定E的位置．
【解析】
（Ⅰ）证明：连接AB1，∵ABC-A1B1C1为直三棱柱，且AB=BB1，∴A1B⊥AB1
又∵AC1⊥平面A1BD，∴A1B⊥AC1…∴A1B⊥平面AB1C1，∴B1C1⊥A1B，
又∵B1C1⊥BB1，∴B1C1⊥平面ABB1A1
（Ⅱ）假设存在点E满足题设，过E作EF∥B1C1交BB1于F，
由（Ⅰ）知EF⊥平面ABB1A1，
过F作FG⊥A1B于G，连接EG，则EG⊥A1B∴∠FGE就是二面角E-A1B-A的平面角
设AB=BB1=a，∵AC1⊥A1D，D为AC中点，∴，⇒B1C1=EF=a．∴
设BF=x，Rt△A1B1B∽Rt△FGB即．∴当E为CC1的中点时满足题设．