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如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BB1,AC1⊥平面A1BD,D为...

如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BB1,AC1⊥平面A1BD,D为AC中点.
(Ⅰ)求证:B1C1⊥平面ABB1A1
(Ⅱ)在棱CC1上是否存在点E,使二面角.E-A1B-B1的正切值为manfen5.com 满分网,若存在,确定点E的位置,若不存在,说明理由.

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(Ⅰ)要证B1C1⊥平面ABB1A1,只要证明B1C1与平面ABB1A1内的两条相交直线BB1,A1B垂直即可.而B1C1与A1B垂直 可通过证明A1B⊥平面AB1C1来实现. (Ⅱ)假设存在点E满足题设,过E作EF∥B1C1交BB1于F,过F作FG⊥A1B于G,连接EG,则EG⊥A1B,∠FGE就是二面角E-A1B-A的平面角,表示出EF,利用Rt△A1B1B∽Rt△FGB来表示CE,从而确定E的位置. 【解析】 (Ⅰ)证明:连接AB1,∵ABC-A1B1C1为直三棱柱,且AB=BB1,∴A1B⊥AB1 又∵AC1⊥平面A1BD,∴A1B⊥AC1…∴A1B⊥平面AB1C1,∴B1C1⊥A1B, 又∵B1C1⊥BB1,∴B1C1⊥平面ABB1A1 (Ⅱ)假设存在点E满足题设,过E作EF∥B1C1交BB1于F, 由(Ⅰ)知EF⊥平面ABB1A1, 过F作FG⊥A1B于G,连接EG,则EG⊥A1B∴∠FGE就是二面角E-A1B-A的平面角 设AB=BB1=a,∵AC1⊥A1D,D为AC中点,∴,⇒B1C1=EF=a.∴ 设BF=x,Rt△A1B1B∽Rt△FGB即.∴当E为CC1的中点时满足题设.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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