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已知函数f(x)=x2-x+1,数列{an}满足:a1=2,an+1=f(an)...

已知函数f(x)=x2-x+1,数列{an}满足:a1=2,an+1=f(an),其中n∈N*
(Ⅰ)证明:1<an<an+1
(Ⅱ)证明:manfen5.com 满分网
(I)根据an+1-an=an2-an+1-an=(an-1)2≥0 可得an+1>an,而an≥a1=2>1,可得结论; (II)将an+1=an2-an+1转化成an+1-1=an(an-1),然后利用裂项求和法进行求和,即可证得结论. (Ⅰ)证明:∵an+1-an=an2-an+1-an=(an-1)2≥0 …2分 ∴an≥a1=2>1,则(an-1)2≠0⇒an+1>an 所以1<an<an+1 …5分 (Ⅱ)证明:an+1=an2-an+1⇒an+1-1=an(an-1) 所以 …7分 得 所以 …10分 ==…12分
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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