Question

已知函数f（x）=x²-x+1，数列{a_n}满足：a₁=2，a_n+1=f（a_n），其中n∈N^*．
（Ⅰ）证明：1＜a_n＜a_n+1；
（Ⅱ）证明：．

Answer

（I）根据an+1-an=an2-an+1-an=（an-1）2≥0 可得an+1＞an，而an≥a1=2＞1，可得结论；
（II）将an+1=an2-an+1转化成an+1-1=an（an-1），然后利用裂项求和法进行求和，即可证得结论．
（Ⅰ）证明：∵an+1-an=an2-an+1-an=（an-1）2≥0 …2分
∴an≥a1=2＞1，则（an-1）2≠0⇒an+1＞an 所以1＜an＜an+1 …5分
（Ⅱ）证明：an+1=an2-an+1⇒an+1-1=an（an-1）
所以 …7分
得

所以 …10分
==…12分