Question

已知函数f（x）=ax³+bx²（x∈R）图象过点P（-1，2），且在点P处的切线恰好与x-3y=0垂直．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函数在（2，+∞）上是减函数，求实数m的取值范围．

Answer

（I）本题的解析式中有两个参数，故需要两个方程，由图象过定点P可以得到一个方程，另一个由点P处的切线与直线x-3y=0垂直可以得到切线的斜率，得到另一个方程，由此两方程联立即可得到两个参数的值．
（Ⅱ）求解本题中的参数取值范围需要先求出g（x）的解析式，然后求出其导数，由于函数在（2，+∞）上是减函数，故在这个区间上导数值应小于等于0，由此关系得到参数a的不等式，解之即得．
【解析】
（Ⅰ）f'（x）=3ax2+2bx，…（2分）由题意有∴∴f（x）=x3+3x2．（5分）
（Ⅱ），因为g'（x）=3mx2+2x-1，依题意对x∈（2，+∞），g'（x）≤0恒成立，即在x∈（2，+∞）恒成立，…（7分）
令，求得…（9分）所以，故…（12分）