Question

如图，已知圆G：，定点，M为圆上一动点，P点在TM上，N点在GM上，且满足，点N的轨迹为曲线E．
（Ⅰ）求曲线 E的方程；
（Ⅱ）设曲线E交直线l：y=k（x+1）于A、B两点，与x轴交于点C，若，若△ABO的面积是，求a值．

Answer

（Ⅰ）由=0可得|NM|=|NT|，∴|NG|+|NT|=|NG|+|NM|=|GM|=2a＞|GT|=2a，再根据椭圆的定义可得曲线E的方程．
（Ⅱ）联立直线与椭圆的方程再结合根与系数的关系可得：y1+y2=，y1y2=，再结合可得y1=-2y2，即可求出y2，再利用其表示出三角形的面积，进而求出k的取值，即可得到a的取值．
【解析】
（Ⅰ）∵=0，
∴|NM|=|NT|，
∴|NG|+|NT|=|NG|+|NM|=|GM|=2a＞|GT|=2a …2分
∴N 的轨迹是以G（-a，0）为焦点的椭圆，且长轴长为2a，
∴短轴长为，
所以E的方程为：x2+3y2=a2．…4分
（Ⅱ）由=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
所以由根与系数的关系可得：y1+y2= …①，y1y2= …②…6分
∵，
∴y1=-2y2 …③
 由①③解得：y2=- …④…8分
所以S△= …11分
将k=± 代入②③④解得：a=±
满足△＞0 …12分