Question

已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AB=AA₁，D、E、F分别为B₁A、C₁C、BC的中点．
（1）求异面直线B₁F与AC的夹角余弦值；
（2）求证：DE∥平面ABC；
（3）求证：B₁F⊥平面AEF．

Answer

（1）做FH∥AC，cos∠B1FH即所求，在Rt△B1FH中，即可求出异面直线B1F与AC的夹角余弦值；
（2）要证DE∥平面ABC，只需证明DE平行平面ABC内的直线DG（设G是AB的中点，连接DG）；
（3）求证B1F⊥平面AEF，只需证明B1F垂直平面AEF内的两条相交直线AF、EF即可；
【解析】
（1）做FH∥AC，根据异面直线及其所成的角的定义知，
∠B1FH即所求异面直线B1F与AC的夹角，
从而cos∠B1FH即所求，
Rt△B1FH中，cos∠B1FH==．
（2）方法i：设G是AB的中点，连接DG，
则DG平行且等于EC，
所以四边形DECG是平行四边形，所以DE∥GC，
从而DE∥平面ABC．
方法ii：连接A1B、A1E，并延长A1E交AC的延长线
于点P，连接BP．由E为C1C的中点，A1C1∥CP，
可证A1E=EP，
∵D、E是A1B、A1P的中点，∴DE∥BP，
又∵BP⊂平面ABC，DE⊄平面ABC，∴DE∥平面ABC
（3）∵△ABC为等腰直角三角形，F为BC的中点，
∴BC⊥AF，又∵B1B⊥平面ABC，可证B1F⊥AF，
设AB=AA1=2，则，
∴B1F⊥EF，∴B1F⊥平面AEF；