Question

已知二项式（2+x）ⁿ的展开式中，x³的系数为160，则展开式中常数项为    ．

Answer

先写出展开式的 通项，令x的指数为3求出展开式中x3的系数．，结合系数的特点可讨论求解满足题意的n，然后代入通项，令x的指数为0，可求
【解析】
∵（2+x）n的展开式的通项为
令r=3可得，
∴
即
∴n（n-1）（n-2）•2n-3=26×5×3=960
结合式子两边的特点可知，n（n-1）（n-2）一定是5的倍数
当n=5时，左边60•23≠26×15=右面，舍去
当n-1=5即n=6时，左边=120•23=960=右面，符合题意
当n-2=5即n=7时，左边=210×24≠960，不符合题意
综上可得，n=6
令r=0可得，常数项为=26=64，
故答案为64