Question

（理）若二次项系数为a的二次函数f（x）同时满足如下三个条件，求f（x）的解析式．
①f（3-x）=f（x）；②f（1）=0；③对任意实数x，都有f（x）恒成立．

Answer

方法一：设f（x）=ax2+bx+c（a＞0），由已知①②可得，然后由f（x）可得恒成立，结合二次函数的性质可求a，进而可求函数解析式
方法二：设，由f（1）=0，可得，而f（x）=a≥-恒成立，则-≥，且a＞0，可求a，从而可求
【解析】
方法一：利用一般解析式．设f（x）=ax2+bx+c（a＞0），
依题意得：⇒
由f（x）得恒成立，
∴即
∴a=1，
∴f（x）=x2-3x+2
方法二：依题意可设，由，，
从而f（x）=a≥-恒成立，则-≥，且a＞0，
∴≤0，a＞0，∴a=1．
从而f（x）==x2-3x+2