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已知{an}是等比数列,a1=2,a3=18;{bn}是等差数列,b1=2,b1...

已知{an}是等比数列,a1=2,a3=18;{bn}是等差数列,b1=2,b1+b2+b3+b4=a1+a2+a3>20.
(1)求数列{bn}的通项公式;
(2)求数列{bn}的前n项和Sn的公式;
(3)设Pn=b1+b4+b7+…+b3n-2,Qn=b10+b12+b14+…+b2n+8,其中n=1,2,…,试比较Pn与Qn的大小,并证明你的结论.
(1)将已知转化成基本量,先有{an}的条件求出公比q2=,要注意讨论q的值的情况,再由等差数列{bn}满足b1+b2+b3+b4=26进而求出d,得到bn; (2)利用等差数列的前n项和公式可得结果; (3)由已知可得b1,b4,b7,,b3n-2组成以b1=2为首项,3d为公差的等差数列,而b10,b12,b14,,b2n+8组成以b10=29为首项,2d为公差的等差数列,求出Pn和Qn后,作差比较,得到关于n的函数关系式,讨论n的情况可得结果. 【解析】 (1)设{an}的公比为q,由a3=a1q2得q2==9,q=±3. 当q=-3时,a1+a2+a3=2-6+18=14<20, 这与a1+a2+a3>20矛盾,故舍去. 当q=3时,a1+a2+a3=2+6+18=26>20,故符合题意. 设数列{bn}的公差为d,由b1+b2+b3+b4=26得4b1+d=26. 又b1=2,解得d=3,所以bn=3n-1. (2)Sn==n2+n. (3)b1,b4,b7,,b3n-2组成以3d为公差的等差数列, 所以Pn=nb1+•3d=n2-n; b10,b12,b14,,b2n+8组成以2d为公差的等差数列,b10=29, 所以Qn=nb10+•2d=3n2+26n. Pn-Qn=(n2-n)-(3n2+26n)=n(n-19). 所以,对于正整数n,当n≥20时,Pn>Qn; 当n=19时,Pn=Qn; 当n≤18时,Pn<Qn.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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