Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为A₁B₁、A₁D₁的中点，G、H分别为BC、B₁D₁的中点．
（1）指出直线GH与平面EFDB的位置关系，并加以证明；
（2）求异面直线GH与DF所成角的大小．

Answer

（1）连接EH，易知EH=BG且EH∥BG，从而得到四边形EHGB为平行四边形，根据线面平行的判定定理得到GH∥平面EFDB．
（2）先取BD中点M，连接MF，可得∠DFM为异面直线GH与DF所成的角，设正方体棱长为2，在三角形MDF中，由余弦定理可得cos∠MFD，从而求出所求．
【解析】
（1）连接EH，易知EH=A1D1=BC=BG且EH∥A1D1∥AD∥BG，
所以四边形EHGB为平行四边形，所以GH∥BE，BE⊂平面EFDB
所以GH∥平面EFDB．
（2）取BD中点M，连接MF，易知FH=A1B1=CD=MG且FH∥A1B1∥CD∥MG，
所以四边形FHGM为平行四边形，所以GH∥FM
所以∠DFM为异面直线GH与DF所成的角，
设正方体棱长为2，
可得，MF=，DF=，MD=，
在三角形MDF中，由余弦定理可得cos∠MFD=，
∴异面直线GH与DF所成的角的大小为arccos．