Question

设α，β，γ是三个不同的平面，a，b是两条不同的直线，给出下列4个命题：
①若a∥α，b∥α，则a∥b；②若a∥α，b∥β，a∥b，则α∥β；
③若a⊥α，b⊥β，a⊥b，则α⊥β；④若a，b在平面α内的射影互相垂直，则a⊥b．
其中正确命题的序号是    ．

Answer

对于命题①②④，只要把相应的平面和直线放入长方体中，找到反例即可，对于命题③，根据利用空间向量法求二面角的大小的思想来加以说明即可．
【解析】
在长方体ABCD-A1B1C1D1中
①：平面AC为平面α，直线A1D1，和直线A1B1分别是直线a，b，
显然满足a∥α，b∥α，而a与b相交，故命题①不正确；
②：平面AC为平面α，平面AD1为平面β，
直线A1D1，和直线BC分别是直线a，b，
显然满足a∥α，b∥β，a∥b，而α与β相交，故命题②不正确；
③分别求直线a，b的一个方向向量，
∵a⊥b，∴
∵a⊥α，b⊥β，
∴
∴α⊥β；
④平面AC为平面α，直线AD1，和直线CD1分别是直线a，b，
显然满足a，b在平面α内的射影互相垂直，而a，b不垂直．
故答案我③．