Question

定义在（0，+∞）上的函数f（x）的导函数f'（x）＜0恒成立，且f（4）=1，若f（x+y）≤1，则x²+y²+2x+2y的最小值是   

Answer

先根据导数的符号判断函数的单调性，进而确定x+y的取值范围，然后设c=x2+y2+2x+2y，整理成（x+1）2+（y+1）2=c+2的形式后转化为可行域上的点到（-1，-1）的距离的平方的最小值的问题求解．
【解析】
∵f'（x）＜0∴该函数在（0，+∞）上是减函数
∵f（x+y）≤1=f（4）
∴x+y≥4
设c=x2+y2+2x+2y，则（x+1）2+（y+1）2=c+2，表示可行域上的点到（-1，-1）的距离的平方，也表示一个圆
当x+y-4=0与这样的圆相切时，其半径最小，即可行域上的点到（-1，-1）的距离最小
∴=18=c+2∴c=16
故答案为：16