Question

商场销售某种商品，若销售量是商品标价的一次函数，标价越高，销售量越少．把销售量为零时的最低标价称为无效价格，已知无效价格为15元/件．如果该商品的成本价是5元/件，商场以高于成本价的标价出售，且能够全部售完．
（I）商场要获得最大利润，该商品的标价应定为每件多少元？
（II）记商场的销售利润与标价之比为价格效益，则标价为何值时，价格效益最大？

Answer

（I）设销售量为n，商品的标价为每件x元，利润为y元．则n=kx+b（k＜0），把已知代入可求n与k的关系，从而可得y与x的函数关系，结合二次函数的性质可求
（II）记y1为价格效益，则=，利用基本不等式可求函数的最大值
【解析】
（I）设销售量为n，商品的标价为每件x元，利润为y元．
则n=kx+b（k＜0）
∵0=15k+b，b=-15k，
∴n=k（x-15），
y=（x-5）k（x-15）=k（x-10）2-25k，x∈（5，15]．        …（4分）
∵k＜0
∴x=10时，ymax=-25k．即商场要获取最大利润商品的标价应为每件10元．…（6分）
（II）记y1为价格效益，则=
当且仅当即时，y最大
∴标价为每件元时，价格效益最大…（10分）