Question

数列{a_n}：a₁=1，a₂=3，a₃=2，a_n+2=a_n+1-a_n，求S₂₀₀₂．

Answer

由a1=1，a2=3，a3=2，an+2=an+1-an可得a4=-1，a5=-3，a6=-2，a7=1，a8=3，a9=2，a10=-1，a11=-3，a12=-2，…a6k+1=1，
从而可得数列是以6为周期的周期数列，且有a6k+1+a6k+2+a6k+3+a6k+4+a6k+5+a6k+6=0，代入可求和
【解析】
设S2002=a1+a2+a3+…+a2002
由a1=1，a2=3，a3=2，an+2=an+1-an可
可得a4=-1，a5=-3，a6=-2，a7=1，a8=3，a9=2，a10=-1，a11=-3，a12=-2，…a6k+1=1，
即a6k+2=3，a6k+3=2，a6k+4=-1，a6k+5=-3，a6k+6=-2
∵a6k+1+a6k+2+a6k+3+a6k+4+a6k+5+a6k+6=0（找特殊性质项）
∴S2002=a1+a2+a3+…+a2002（
=（a1+a2+a3+…a6）+（a7+a8+…a12）+…+（a6k+1+a6k+2+…+a6k+6）+…+（a1993+a1994+…+a1998）+a1999+a2000+a2001+a2002
=a1999+a2000+a2001+a2002
=a6k+1+a6k+2+a6k+3+a6k+4
=5