Question

将等差数列{a_n}的所有项依次排列，并如下分组：（a₁），（a₂，a₃），（a₄，a₅，a₆，a₇），…，其中第1组有1项，第2组有2项，第3组有4项，…，第n组有2^n-1项，记T_n为第n组中各项的和，已知T₃=-48，T₄=0，
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）求数列{T_n}的通项公式；
（III）设数列{ T_n }的前n项和为S_n，求S₈的值．

Answer

（I）设{an}的公差为d，则T3=4a7-6d=-48，T4=8a7+36d=0，由此能够求出{an}的通项公式．
（II）当n≥2时，在前n-1组中共有项数为1+2+…+2n-2=2n-1-1，由此能求出数列{Tn}的通项公式．
（III）由S8为数列{an}前8组元素之和，且这8组总共有255项，由此能求出S8的值．
【解析】
（I）设{an}的公差为d，
由题意T3=4a7-6d=-48①，
T4=8a7+36d=0②，
解①、②得d=2，a7=-9，
∴an=2n-23；
（II）当n≥2时，在前n-1组中共有项数为：1+2+…+2n-2=2n-1-1，
故第n组中的第一项是{an}中的第2n-1项，且第n组中共有2n-1项，
∴第n组中的2n-1项的和：

=3×22n-2-24×2n-1．
当n=1时，T1=a1=-21适合上式，
∴Tn=3×22n-2-24×2n-1．
（III）∵S8=T1+T2+T3+…+Tn，
即数列{an}前8组元素之和，且这8组总共有1+2+22+…+27=28-1=255，
∴S8=255
=255×（-21）+
=59415．