对选项中的函数分别进行求导,研究它们的极值和单调性进行分析,对于A:求导,由导数的符号知f(x)在(0,)上单调递减,且f(0)=0,故该函数在(0,)上无零点,故错;对于B:求导,令导数等于零,求出该函数的极值点x1,分析函数的单调性f(x)在(0,x1)上单调递增,在()上单调递减,对于C:求导,由导数的符号知f(x)在(0,)上单调递减,且f(0)=0,故该函数在(0,)上无零点,故错;对于D:求导,求得函数的极值点,分析函数的单调性,可知该选项正确.
【解析】
对于A:f'(x)=cosx-1<0,x∈(0,)
∴f(x)在(0,)上单调递减,且f(0)=0,故该函数在(0,)上无零点,故错;
对于B:令f′(x)=cosx-=0,得x1=arccos,
当0<x<x1时,f′(x)>0,当时,f′(x)<0,
因此f(x)在(0,x1)上单调递增,在()上单调递减,
而f(0)=0,f()=0,故该函数在(0,)上无零点,故错;
对于C:f′(x)=2sinxcosx-1=sin2x-1≤0,x∈(0,)
∴f(x)在(0,)上单调递减,且f(0)=0,故该函数在(0,)上无零点,故错;
对于D:令f′(x)=2sinxcosx-=sin2x-=0,得x1=arcsin,或x2=π-arcsin,
当0<x<x1时,f′(x)<0,当x1<x<x2时,f′(x)>0,当时,f′(x)<0,
因此f(x)在(0,x1)上单调递减,在(x1,x2)上单调递增,在()上单调递减,
而f(0)=0,f()=0,故该函数在(0,)上有零点,故正确;
故选D.