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下列函数中,在(0,)上有零点的函数是( ) A.f(x)=sinx- B.f(...

下列函数中,在(0,manfen5.com 满分网)上有零点的函数是( )
A.f(x)=sinx-
B.f(x)=sinx-manfen5.com 满分网
C.f(x)=sin2x-
D.f(x)=sin2x-manfen5.com 满分网
对选项中的函数分别进行求导,研究它们的极值和单调性进行分析,对于A:求导,由导数的符号知f(x)在(0,)上单调递减,且f(0)=0,故该函数在(0,)上无零点,故错;对于B:求导,令导数等于零,求出该函数的极值点x1,分析函数的单调性f(x)在(0,x1)上单调递增,在()上单调递减,对于C:求导,由导数的符号知f(x)在(0,)上单调递减,且f(0)=0,故该函数在(0,)上无零点,故错;对于D:求导,求得函数的极值点,分析函数的单调性,可知该选项正确. 【解析】 对于A:f'(x)=cosx-1<0,x∈(0,) ∴f(x)在(0,)上单调递减,且f(0)=0,故该函数在(0,)上无零点,故错; 对于B:令f′(x)=cosx-=0,得x1=arccos, 当0<x<x1时,f′(x)>0,当时,f′(x)<0, 因此f(x)在(0,x1)上单调递增,在()上单调递减, 而f(0)=0,f()=0,故该函数在(0,)上无零点,故错; 对于C:f′(x)=2sinxcosx-1=sin2x-1≤0,x∈(0,) ∴f(x)在(0,)上单调递减,且f(0)=0,故该函数在(0,)上无零点,故错; 对于D:令f′(x)=2sinxcosx-=sin2x-=0,得x1=arcsin,或x2=π-arcsin, 当0<x<x1时,f′(x)<0,当x1<x<x2时,f′(x)>0,当时,f′(x)<0, 因此f(x)在(0,x1)上单调递减,在(x1,x2)上单调递增,在()上单调递减, 而f(0)=0,f()=0,故该函数在(0,)上有零点,故正确; 故选D.
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