Question

已知实数a满足0＜a≤2，a≠1，设函数f （x）=x³-x²+ax．
（1）当a=2时，求f （x）的极小值；
（2）若函数g（x）=x³+bx²-（2b+4）x+ln x （b∈R）的极小值点与f （x）的极小值点相同．
求证：g（x）的极大值小于等于．

Answer

（1）求出函数的导数，利用导数画出表格，求出函数的极值
（2）根据f（x）的极值求出函数g（x）关系式从而证明函数g（x）的极大值小于
【解析】
（Ⅰ）【解析】
当a=2时，f′（x）=x2-3x+2=（x-1）（x-2）．
列表如下：

x （-∞，1） 1 （1，2） 2 （2，+∞）
f′（x） + - +
f（x） 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增

所以，f（x）的极小值为f（2）=．（6分）
．（5分）
（Ⅱ）【解析】
f′（x）=x2-（a+1）x+a=（x-1）（x-a）．
g′（x）=3x2+2bx-（2b+4）+=．
令p（x）=3x2+（2b+3）x-1，
（1）当1＜a≤2时，
f（x）的极小值点x=a，则g（x）的极小值点也为x=a，
所以p（a）=0，
即3a2+（2b+3）a-1=0，
即b=，
此时g（x）极大值=g（1）=1+b-（2b+4）=-3-b
=-3+=．
由于1＜a≤2，
故≤   x2--=．（10分）
（2）当0＜a＜1时，
f（x）的极小值点x=1，则g（x）的极小值点为x=1，
由于p（x）=0有一正一负两实根，不妨设x2＜0＜x1，
所以0＜x1＜1，
即p（1）=3+2b+3-1＞0，
故b＞-．
此时g（x）的极大值点x=x1，
有g（x1）=x13+bx12-（2b+4）x1+lnx1
＜1+bx12-（2b+4）x1
=（x12-2x1）b-4x1+1 （x12-2x1＜0）
＜-（x12-2x1）-4x1+1
=-x12+x1+1
=-（x1-）2+1+（0＜x1＜1）
≤，＜．
综上所述，g（x）的极大值小于等于．（14分）