Question

已知m∈R，命题p：对任意x∈[0，8]，不等式恒成立；命题q：对任意x∈，不等式恒成立．
（Ⅰ）若p为真命题，求m的取值范围；
（Ⅱ）若p且q为假，p或q为真，求m的取值范围．

Answer

（I）不等式恒成立等价于m2-3m小于或等于在x∈[0，8]上的最小值，从而问题转化为利用单调性求函数f（x）=最小值问题，求得m的范围；（2）由（1）得命题p的等价命题，再求命题q的等价命题，根据p且q为假，p或q为真，利用真值表可推得p与q有且只有一个为真，分别解不等式组即可得m的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）令f（x）=，
则f（x）在（-1，+∞）上为减函数，
因为x∈[0，8]，所以当x=8时，f（x）min=f（8）=-2．
不等式恒成立，等价于-2≥m2-3m，
解得1≤m≤2．
（Ⅱ）不等式恒成立，
即2sinx（sinx+cosx）≤m（sinx+cosx）恒成立，
又x∈时，sinx+cosx为正，
所以m≥sinx对任意x∈恒成立，
∵x∈，∴0＜sinx≤1，0＜sinx≤
∴m≥
即命题q：m≥
若p且q为假，p或q为真，则p与q有且只有一个为真．
若p为真，q为假，那么，则1≤m＜；
若p为假，q为真，那么，则m＞2．
综上所述，1≤m＜或m＞2，
即m的取值范围是[1，）∪（2，+∞）．