Question

已知函数f（x）=x³+3ax-1
（1）若函数y=f（x）在x=-1时有与x轴平行的切线，求f（x）的表达式；
（2）设g（x）=[af'（x）-3a²+3]，其中f^-1（x）是f（x）的导函数，若函数g（x）的图象与直线y=x相切，求a的值；
（3）设a=-m²，当实数m在什么范围内变化时，函数y=f（x）的图象与直线y=3只有一个公共点．

Answer

（1）求导，根据函数y=f（x）的图象在x=-1时有与x轴平行的切线，利用导数的几何意义，可知f′（-1）=0，解方程即可求得结果；
（2）先求出函数g（x），再利用函数g（x）的图象与直线y=x相切，建立方程组，从而可求a的值
（3）先求f′（x）=3x2-3m2，再进行分类讨论：①当m=0时，f（x）=x3-1的图象与直线y=3只有一个公共点；②当m≠0时，求得极值，明确关键点，再利用图象间的关系求解．
【解析】
（1）f′（x）=3x2+3a
∵函数y=f（x）在x=-1时有与x轴平行的切线
∴f′（-1）=3+3a=0
∴a=-1
∴f（x）=x3-ax-1
（2）g（x）=[af′（x）-3a2+3]=[a（3x2+3a）-3a2+3]=ax2+1，
设函数g（x）=ax2+1与直线y=x的切点是P（x，y），
则有，解得
（3）f′（x）=3x2-3m2
①当m=0时，f（x）=x3-1的图象与直线y=3只有一个公共点
②当m≠0时，f（x）极小=f（|m|）=-2m2×|m|-1＜-1
又∵f（x）的值域是R，且在（|m|，+∞）上单调递增
∴当x＞|m|时函数y=f（x）的图象与直线y=3只有一个公共点．
当x＜|m|时，恒有f（x）≤f（-|m|）
由题意得f（-|m|）＜3
即2m2×|m|-1=2|m|3-1＜3
解得
综上，m的取值范围是