Question

如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD中点
（1）证明：PE⊥BC
（2）若∠APB=∠ADB=60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值

Answer

以H为原点，HA，HB，HP分别为x，y，z轴，线段HA的长为单位长，建立空间直角坐标系．
（1）表示，，计算，就证明PE⊥BC．
（2）∠APB=∠ADB=60°，求出C，P的坐标，再求平面PEH的法向量，
求向量，然后求与面PEH的法向量的数量积，可求直线PA与平面PEH所成角的正弦值．
【解析】
以H为原点，HA，HB，HP分别为x，y，z轴，线段HA的长为单位长，
建立空间直角坐标系如图，则A（1，0，0），B（0，1，0）
（Ⅰ）设C（m，0，0），P（0，0，n）（m＜0，n＞0）
则
可得
因为
所以PE⊥BC．

（Ⅱ）由已知条件可得
设n=（x，y，z）为平面PEH的法向量
则即
因此可以取，
由，
可得
所以直线PA与平面PEH所成角的正弦值为．