(Ⅰ)先利用F2是抛物线C2:y2=4x的焦点求出F2的坐标,再利用|MF2|=以及抛物线的定义求出点M的坐标,可以得到关于椭圆方程中参数的两个等式联立即可求C1的方程;
(Ⅱ)先利用,以及直线l∥MN得出直线l与OM的斜率相同,设出直线l的方程,把直线方程与椭圆方程联立得到关于A,B两点坐标的等式,整理代入,即可求出直线l的方程.
【解析】
(Ⅰ)由C2:y2=4x知F2(1,0).
设M(x1,y1),M在C2上,因为,
所以,得,.M在C1上,且椭圆C1的半焦距c=1,
于是
消去b2并整理得9a4-37a2+4=0,解得a=2(不合题意,舍去).
故椭圆C1的方程为.
(Ⅱ)由知四边形MF1NF2是平行四边形,其中心为坐标原点O,
因为l∥MN,所以l与OM的斜率相同,
故l的斜率.设l的方程为.
由
消去y并化简得9x2-16mx+8m2-4=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),,.
因为,所以x1x2+y1y2=0.
x1x2+y1y2
=x1x2+6(x1-m)(x2-m)
=7x1x2-6m(x1+x2)+6m2
==.
所以.此时△=(16m)2-4×9(8m2-4)>0,
故所求直线l的方程为,或.