Question

如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，且AB∥EF，矩形ABCD所在的平面和圆O所在的平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=1．
（1）求证：AF⊥平面CBF．
（2）设FC的中点为M，求证：OM∥平面DAF．
（3）求四棱锥F-ABCD的体积．

Answer

（Ⅰ）欲证AF⊥平面CBF，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AF与平面CBF内两相交直线垂直，根据面面垂直的性质可知CB⊥平面ABEF，而AF⊂平面ABEF，则AF⊥CB，而AF⊥BF，满足定理所需条件；
（Ⅱ）欲证OM∥平面DAF，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证OM与平面DAF内一直线平行即可，设DF的中点为N，则MNAO为平行四边形，则OM∥AN，又AN⊂平面DAF，OM不属于平面DAF，满足定理所需条件；
（Ⅲ）过点F作FG⊥AB于G，根据面面垂直的性质可知FG⊥平面ABCD，FG即正△OEF的高，然后根据三棱锥的体积公式进行求解即可．
【解析】
（Ⅰ）证明：∵平面ABCD⊥平面ABEF，CB⊥AB，
平面ABCD∩平面ABEF=AB
∴CB⊥平面ABEF∵AF⊂平面ABEF
∴AF⊥CB
又AB为圆O的直径∴AF⊥BF
∴AF⊥平面CBF
（Ⅱ）设DF的中点为N，则MN又AO，
∴MNAO∴MNAO为平行四边形
∴OM∥AN，
又AN⊂平面DAF，OM不属于平面DAF
∴OM∥平面DAF
（Ⅲ）过点F作FG⊥AB于G∵平面ABCD⊥平面ABEF，
∴FG⊥平面ABCD，FG即正△OEF的高
∴∴SABCD=2
∴