Question

设f（x）=x²+bx+c（b，c∈R）．若|x|≥2时，f（x）≥0，且f（x）在区间（2，3]上的最大值为1，求b²+c²的最大值和最小值．

Answer

根据题意函数图象为开口向上的抛物线，且f（x）在区间（2，3]上的最大值只能在闭端点取得，故有f（2）≤f（3）=1，从而b≥-5且c=-3b-8，再根据若|x|≥2时，f（x）≥0，可确定b的范围，进而可求b2+c2的最大值和最小值．
【解析】
由题意函数图象为开口向上的抛物线，且f（x）在区间（2，3]上的最大值只能在闭端点取得，
故有f（2）≤f（3）=1，从而b≥-5且c=-3b-8．
若f（x）=0有实根，则△=b2-4c=b2+12b+32≥0，
∵|x|≥2时，f（x）≥0，
∴在区间[-2，2]有即消去c，解出，
即b=-4，这时c=4，且△=0．
若f（x）=0无实根，则△=b2-4c＜0，将c=-3b-8代入解得-8＜b＜-4．
综上-5≤b≤-4．
所以b2+c2=b2+（-3b-8）2=10b2+48b+64=10，
∴b2+c2在[-5，-4]上单调递减
故．