Question

已知椭圆C：（a＞b≥0），其离心率为，两准线之间的距离为．
（1）求a，b之值；
（2）设点A坐标为（6，0），B为椭圆C上的动点，以A为直角顶点，作等腰直角△ABP（字母A，B，P按顺时针方向排列），求P点的轨迹方程．

Answer

（1）根据椭圆C：（a＞b≥0），其离心率为，两准线之间的距离为，我们可以得到几何量之间的关系，由此可以求a，b之值；
（2）解法一：利用等腰直角△ABP条件，寻找B与P坐标之间的关系，利用B为椭圆C上的动点，可求动点P的轨迹方程；
解法二：利用圆的参数方程，寻找B与P坐标之间的关系，利用B为椭圆C上的动点，可求动点P的轨迹方程．
【解析】
（1）设c为椭圆的焦半径，则，于是有a=5，c=4，∴b=3．
（2）解法一：设B点坐标为（s，t），P点坐标为（x，y）．
于是有．
因为，所以有（s-6，t）（x-6，y）=（s-6）（x-6）+ty=0．           ①
又因为△ABP为等腰直角三角形，所以有|AB|=|AP|，即．              ②
由①推出，代入②得t2=（x-6）2
从而有 y2=（s-6）2，即s=6+y（不合题意，舍去）或s=6-y．
代入椭圆方程，即得动点P的轨迹方程．
解法二：设B（x1，y1），P（x，y），|AB|=r，则以A为圆心，r为半径的圆的参数方程为．
设AB与x轴正方向夹角为θ，B点的参数表示为，
P点的参数表示为，即．
从上面两式，得到．
又由于B点在椭圆上，可得．
此即为P点的轨迹方程．