Question

已知椭圆 过定点A（1，0），且焦点在x轴上，椭圆与曲线|y|=x的交点为B、C．现有以A为焦点，过B，C且开口向左的抛物线，其顶点坐标为M（m，0），当椭圆的离心率满足 时，求实数m的取值范围．

Answer

由椭圆过定点A（1，0），知，，由，知．由对称性知，所求抛物线只要过椭圆与射线y=x（x≥0）的交点，就必过椭圆与射线y=-x（x≥0）的交点．由此能求出实数m的取值范围．
【解析】
∵椭圆 过定点A（1，0），
∴，，
∵，∴，
∴．
由对称性知，所求抛物线只要过椭圆与射线y=x（x≥0）的交点，就必过椭圆与射线y=-x（x≥0）的交点．
联立方程 ，
解得 ．
∵，
∴．
设抛物线方程为：y2=-2p（x-m），p＞0，m＞1．
∵，
∴y2=（1-m）（x-m）①
把 y=x，代入①，
得x2+4（m-1）x-4m（m-1）=0，m＞1．
令f（x）=x2+4（m-1）x-4m（m-1），m＞1，
∵f（x）在内有根且单调递增，
∴
即
综上得实数m的取值范围：{m|}．