Question

已知函数f（x）=x²+2x，数列{a_n}的前n项和为S_n，对一切正整数n，点P_n（n，S_n）都在函数f（x）的图象上，且过点P_n（n，S_n）的切线的斜率为k_n．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若，求数列{b_n}的前n项和为T_n；
（Ⅲ）设Q={x|x=k_n，n∈N*}，R={x|x=2a_n，n∈N*}，等差数列{c_n}的任一项c_n∈Q∩R，其中c₁是Q∩R中的最小数，110＜c₁₀＜115，求{c_n}的通项公式．

Answer

（Ⅰ）根据点在函数图象上，则点满足函数解析式，得到Sn的表达式，进而求得数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）根据题中条件求出kn的表达式，结合（1）求得的数列{an}的通项公式，即可求得数列{bn}的通项公式，进而可以利用错位相消法求出数列{bn}的前n项和Tn．
（Ⅲ）由“Q={x|x=2n+2，n∈N*}，R={x|x=4n+2，n∈N*}”求得交集，再由“cn∈Q∩R，其中c1是Q∩R中的最小数”可求得c1=6．最后由{cn}是公差是4的倍数求得c10=4m+6，则110＜c10＜115求解即可．
【解析】
（Ⅰ）∵点Pn（n，Sn）都在函数f（x）=x2+2x的图象上，
∴．
当n=1时，a1=S1=3；
当n≥2时，，
当n=1时，也满足．
故an=2n+1．
（Ⅱ）由f（x）=x2+2x求导可得，f′（x）=2x+2
∵过点Pn（n，Sn）的切线的斜率为kn，∴kn=2n+2．
又∵，
∴．
∴4（2n+1）•4n…①
由①×4可得：4（2n+1）•4n+1…②
①-②可得：-（2n+1）•4n+1]
=-（2n+1）•4n+1]．
∴．
（Ⅲ）∵Q={x|x=2n+2，n∈N*}，R={x|x=4n+2，n∈N*}
∴Q∩R=R，又∵cn∈Q∩R，其中c1是Q∩R中的最小数，
∴c1=6，∴c10=4m+6，m∈N*，（{cn}的公差是4 的倍数!）
又∵110＜c10＜115
∴解得m=27．