Question

已知等差数列{a_n}的公差d＜0，若a₃a₇=21，a₁+a₉=10，则使前n项和S_n＞0成立的最大正整数n是    ．

Answer

根据等差数列的性质，得到a1+a9=a3+a7=10，又a3a7=21，两者联立即可求出a3和a7的值，进而求出数列的首项a1和公差d的值，由a1和d写出等差数列的前n项和Sn，令Sn大于0列出关于n的不等式，求出不等式的解集得到n的取值范围，即可求出解集中的最大正整数n的值．
【解析】
∵数列{an}为等差数列，公差d＜0，a3a7=21，a1+a9=10，
∴a3+a7=a1+a9=10，
可得得：，
∴，a1=9，
∴，
由，得到-n2+19n=-n（n-19）＞0，即n（n-19）＜0，
解得：0＜n＜19，
则使Sn＞0成立的最大正整数n是18．
故答案为：18