Question

在数列{a_n}中，a₁=1，3a_na_n-1+a_n-a_n-1=0（n≥2，n∈N^*）．
（1）试判断数列是否成等差数列；
（2）设{b_n}满足b_n=，求数列{b_n}的前n项和S_n；
（3）若λa_n+≥λ对任意n≥2的整数恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer

（1）由已知可得（n≥2）．由此能够证明数列{}是等差数列．
（2）由（1）的结论可得bn==1+（n-1）×3，所以bn=3n-2，由此能求出Sn．
（3）将an==代入λan+≥λ，并整理得λ（1-）≤3n+1，故λ≤，原命题等价于该式对n≥2恒成立．由此能够求出实数λ的取值范围．
【解析】
（1）∵数列{an}中，a1=1，3anan-1+an-an-1=0（n≥2，n∈N*），
∴an-1-an=3anan-1，
∴（n≥2）．
故数列{}是等差数列．
（2）由（1）的结论可得bn==1+（n-1）×3，
所以bn=3n-2，
∴Sn==．
（3）将an==代入λan+≥λ并整理得λ（1-）≤3n+1，
∴λ≤，
原命题等价于该式对n≥2恒成立．
设Cn=，
则Cn+1-Cn=＞0，Cn+1＞Cn，
∵n=2时，Cn的最小值C2为，
∴λ的取值范围是（-∞，]．